Identitas trigonometri sudut rangkap

Identitas trigononetri sudut rangkap 

 Pada umumnya, rumus sudut rangkap trigonometri ini digunakan untuk menghitung suatu sudut bukan termasuk sudut istimewa, selain itu juga digunakan untuk menghitung atau menentukan nilai fungsi trigonometri untuk suatu sudut tapi tetap bukan sudut istimewa tanpa alat bantu hitung seperti kalkulator. Kali ini kita akan membahas materi ini lengkap dengan pembahasannya.

Sebagaimana yang kita ketahui, bahwa besar sudut yang termasuk dalam sudut istimewa adalah 30°, 45°, 60°, 90° dan seterusnya. Sedangkan contoh sudut yang bukan merupakan sudut istimewa adalah 75°, 105° dan seterusnya.

Rumus Sudut Rangkap Trigonometri

Seperti penjelasan sebelumnya bahwa rumus sudut rangkap hanya digunakan untuk mencari besar sudut trigonometri di luar sudut istimewa.

Contohnya, diketahui bahwa sudut 60° merupakan sudut sehingga dengan mudah kita mengetahui nilainya. Lalu bagaimana cara mengetahui nilai sudut 120°? yang telah kita ketahui sebelumnya bahwa sudut 120° bukan merupakan sudut istimewa?

Maka di sinilah kegunaan rumus trigonometri sudut rangkap. Kita akan mengetahui jawaban tersebut dengan menggunakan rumus ini.

Nilai 120° diatas adalah hasil dari 2×60°. Sudut 120° memang bukan sudut istimewa, namun sudut 60° adalah sudut istimewa.

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Sinus

Rumus sudut rangkap sinus dapat dinyatakan pada rumus sebagai berikut:

sin 2 = 2sinα cosα

Bukti :

sin2α = sin (α+α)

sin2α = sinα cosα = cosα sinα

sin2α = sinα cosα + sinα cosα

sin2α = 2sinα cosα

Terbukti:

Contoh Soal Pemakaian Sudut Rangkap Sinusi

Jka sinα = 3/5 dan adalah sudut lancip, tentukan nilai sin2α:

Pembahasan:

sinα = 3/5

Cosα = 4/5

Sehingga,

sin 2α = 2. sinα cosαs

sin 2α = 2 . 3/5 . 4/5

dosa 2α = 6/25

 Rumus Sudut Rangkap Fungsi Cosinus

Ada tiga rumus yang bisa dipakai untuk menentukan suatu nilai suatu sudut rangkap kosinus. Ketiga rumus tersebut yaitu:

Cos 2α = cos2α – sin2α

cos 2α = 1 -2 sin2α

cos 2α = 2 sin2α – 1

Bukti :

Cos 2α = cos ( +α )

cos 2α = cosα cosα – sinα sinα

cos 2α = cos2α – cos2α

Sebelum membuktikan kedua rumus lainnya, perlu di ingat bahwa rumus identitas trigonometri sin2α + cos2α = 1.

cos 2α = cos2α – sin2α

cos 2α = (1-sin2α) – sin2α

cos 2α = 1 – sin2α – sin2α

cos 2α = 1 – 2sin2α

cos 2α = cos2α – sin2α

cos 2α = cos2α – (1 – cos2α)

cos 2α = cos2α – 1 + cos2α

cocs 2α = cos2α + cos2α – 1

cos 2α = 2cos2α – 1

Contoh soal Membuktikan identitas trigonometri 

Buktikan bahwa cos 4x = 8 cos4 x – 8 cos² x + 1.

Pembahasan Kita dapat menulis cos 4x sebagai cos (2 ∙ 2x) dan kemudian menerapkan rumus cosinus sudut rangkap. Karena ruas kanan hanya memuat bentuk cosinus, maka kita pilih bentuk yang kedua untuk membuktikan identitas tersebut.

cos 4x=cos(2.2x)

           =2 cos² 2x - 1

           =2(2 cos x - 1)² - 1

           =2(4 cos² x - 4 cos x +1) - 1

           =8 cos² x - 8 cos x + 2 - 1

            =8 cos² x - 8 cos x + 1

 Rumus Sudut Rangkap Fungsi Tangen

Rumus sudut rangkap sinus dinyatakan dalam rumus sebagai berikut:

Bukti:

tan2α = 2tanα / 1-tan2α

Terbukti:

tan2a=tan (a+a)

tan2a=tan a+ tan a/ 1-tan a.tan a

tan2a=2tan a/1-tan²a

Contoh soal Membuktikan Identitas Trigonometri

Buktikan bahwa,

tan ∅= 1 - cos 2∅/sin 2∅

Pembahasan:

Karena bentuk pada ruas kanan lebih rumit daripada bentuk yang sebelah kiri, kita mulai pembuktiannya dari kanan.

1-cos∅/sin 2∅ =1-(1-2 sin ² ∅)/2 sin ∅ cos ∅

                          =2 sin² ∅/ 2 sin∅ cos∅

                          =sin∅/cos∅

                          =tan∅

Selanjutnya kita akan menurunkan rumus sudut rangkap untuk tangen. Rumus sudut rangkap untuk tangen dapat diturunkan sebagai berikut.

tan 2A =tan (A+A)

            =tan A+tan A/1-tanA tanA

            =2 tan A/1-tan² A

Sehingga, kita peroleh rumus sudut rangkap untuk tangen adalah sebagai berikut.

Tan 2A= 2 Tan A/ 1-tan²  A